Question

如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m²a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

Answer 1

解：（1）∵BC与圆O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得…（4分）
∴，
∴，…（6分）
可得函数的定义域为：…（8分）
（2）由（1）可得
=
=
∵，∴tanθ-1＞0，
∴≥2m，
当且仅当，即tanθ=时取等号，
又，所以tanθ=，∴θ=60°
故当θ取60°，即A点在O东偏南60°的方向上，总造价最低． …（16分）
分析：（1）由题意可得AB=rtanθ，，可得，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：；
（2）由（1）可得，可化为y=，由基本不等式可得≥2m，由取等号的条件可得答案．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，涉及基本不等式的应用，属中档题．