Question

若实数x，y满足2^x+2^y=4^x+4^y，则8^x+8^y的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设2^x=a，2^y=b，由题设条件得a²+b²-a-b=0，从而得到（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²=

1

2

，再利用圆的参数方程能得到结果．

解答：解：设2^x=a，2^y=b，
∵实数x，y满足2^x+2^y=4^x+4^y，
∴a²+b²-a-b=0，
∴（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²=

1

2

，
∴

a= 1 2 + 2 2 cosθ b= 1 2 + 2 2 sinθ

，（0≤θ＜2π）
∴a+b=1+

2

2

cosθ+

2

2

sinθ=1+sin（θ+

π

4

），
∵a＞0，b＞0，
∴θ+

π

4

在第一象限角，
∴1＜a+b≤2，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b≥2

ab

，∴（a+b）²≥4ab，
∴2ab≤

(a+b)2

2

，
∴8^x+8^y=a³+b³
=（a+b）（a²+b²-ab）
=（a+b）[（a+b）²-3ab]
≤（a+b）[（a+b）²-

3(a+b)2

4

]
=

1

4

(a+b)3，
∵1＜a+b≤2，
∴1＜8^x+8^y=

1

4

(a+b)3≤2．
故答案为：（1，2]．

点评：本题考查函数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意均值定理和圆的参数方程的合理运用．