Question

7．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-8．

Answer 1

分析 对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）_min，只需求得f（x）的最小值即可．
对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x-3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）?-h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．

解答 解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）_min．
由绝对值不等式的性质，有|2x-1|+|2x+5|≥|（2x-1）+（2x+5）|=6，
即f（x）_min=6，所以m≤6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤4+2x，
得-4-2x≤x-3≤4+2x，转化为$\left\{\begin{array}{l}{-4-2x≤x-3}\\{x-3≤4+2x}\end{array}\right.$，
化简，得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{3}}\\{x≥-7}\end{array}\right.$，所以原不等式的解集为$\{x|x≥-\frac{1}{3}\}$．

点评 本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：
1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]_min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]_max．
2．|g（x）|≤h（x）?-h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）?g（x）≥h（x），或g（x）≤-h（x）．