Question

15．设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x＜-1}\\{3x，-1≤x＜2}\\{x+4，x≥2}\end{array}\right.$，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．
（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，再根据f（-1）≥t²-$\frac{7}{2}$，求得实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x＜-1}\\{3x，-1≤x＜2}\\{x+4，x≥2}\end{array}\right.$，
当x＜-1时，不等式即-x-4＞2，求得x＜-6，∴x＜-6．
当-1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞$\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}$＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞-2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞$\frac{2}{3}$ 或x＜-6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（-1）=-3，若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，
只要-3≥t²-$\frac{7}{2}$t，即2t²-7t+6≤0，求得$\frac{3}{2}$≤t≤2．

点评 题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．