Question

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）可以现设出二次函数的表达式，结合信息获得多项式相等进而利用对应系数相等解得参数，即可明确函数解析式；
（2）结合函数的解析式通过求导很容易求的在点P（t，f（t））处的切线l，由此即可表示出三角形的面积关于t的函数S（t）．从而利用导函数知识即可求得函数S（t）的最小值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
则f'（x）=2ax+b，（2分）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，
解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．

（2）由（1）得，P（t，1-t²），切线l的斜率k=f'（t）=-2t，
∴切线l的方程为y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=-2tx+t²+1．
从而l与x轴的交点为A(

t2+1

2t

 ， 0)，l与y轴的交点为B（0，t²+1），
∴S(t)=

(t2+1)2

4t

（其中t＞0）．
∴S ′(t)=

(t2+1)( 3 t+1)( 3 t-1)

4t2

．
当0＜t＜

3

3

时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；
当t＞

3

3

时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．
∴[S(t)]min=S(

3

3

)=

4 3

9

．

点评：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．