Question

在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
（1）BC∥平面PDF；   （2）BC⊥平面PAE．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得：DF∥BC，再结合线面平行的判定定理可得：BC∥平面PDF．
（2）由题意可得：AB=AC，PB=PC．因为E是BC的中点，所以BC⊥PE，BC⊥AE．结合线面垂直的判定定理可得：所以BC⊥平面PAE．

解答：解：（1）因为D，F分别是AB、CA的中点，
所以DF∥BC，
又因为DF?平面PDF，BC?平面PDF，
所以BC∥平面PDF．
（2）因为在正四面体P-ABC中，
所以AB=AC，PB=PC．
因为E是BC的中点，
所以BC⊥PE，BC⊥AE．
又因为PE∩AE=E，PE?平面PAE，AE?平面PAE，
所以BC⊥平面PAE．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以及熟练掌握线面平行与线面垂直的判定定理．