题目内容
19．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M、N的极坐标分别为（6，$\frac{π}{3}$）、（2，$\frac{π}{3}$），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．（1）设P为线段M、N的中点，求点P的直角坐标；
（2）判断线段MN的垂直平分线l′与圆C的位置关系．
分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把两点M、N的极坐标分别化为直角坐标：$（3，3\sqrt{3}）$，$（1，\sqrt{3}）$．利用中点坐标公式可得线段MN的中点P坐标．
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$化为$（x-3）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=9．可得圆心半径．利用kMN•${k}_{{l}^{′}}$=-1．可得线段MN的垂直平分线l′方程．利用点到直线的距离公式可得：圆心C$（3，-\sqrt{3}）$到直线l′的距离d，与r比较即可得出．
解答 解：（1）两点M、N的极坐标分别为（6，$\frac{π}{3}$）、（2，$\frac{π}{3}$），
化为直角坐标：$（3，3\sqrt{3}）$，$（1，\sqrt{3}）$．
∴线段MN的中点P$（2，2\sqrt{3}）$．
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+3sinθ}\end{array}\right.$化为$（x-3）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=9．
kMN=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3-1}$=$\sqrt{3}$．
${k}_{{l}^{′}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
线段MN的垂直平分线l′为：$y-2\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-2）$，化为x+$\sqrt{3}$y-8=0．
∴圆心C$（3，-\sqrt{3}）$到直线l′的距离d=$\frac{|3-3-8|}{2}$=4＞r=3．
∴线段MN的垂直平分线l′与圆C的位置关系是相离．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10，CD=8，3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF交CD于G
| A． | $y=±\sqrt{2}x$ | B． | $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$ | C． | $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$ | D． | $y=±\sqrt{3}x$ |