题目内容
（2012•大丰市一模）如图所示，在直角坐标平面内，反比例函数的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）四边形ABCD能否为菱形？如果能，请求出四边形ABCD为菱形时，直线AB的函数解析式；如果不能，请说明理由．
分析：（1）根据题意，得C（1，0），设出点D坐标和反比例函数解析式，结合点A（1，4）在函数图象上，得到反比例函数解析式，从而得到ab=4，再根据△ABD的面积为4，列式化简得4a-ab=4a-4=8，最后联解方程组，可得点B的坐标为（3，
）．
（2）根据经过两点直线斜率的公式，结合C、D的坐标，得到直线DC的斜率为-b．同理根据A、B两点的坐标，得到直线AB的斜率关于a、b的式子．再根据反比例解析式，有ab=4，代入化简可得KAB=
=-b，直线AB与直线DC的斜率相等，因此得到DC∥AB．
（3）根据四边形ABCD的对角线互相垂直，可得只要四边形ABCD是平行四边形，它就是一个菱形．再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．接下来利用两点的距离公式，根据CD=AB列出关于a、b的等式，结合ab=4，解之得a=b=2．从而得到当B点坐标为（2，2）时，四边形ABCD为菱形．最后用经过两点的直线斜率的公式，得出此时直线AB的斜率，从而可得直线AB方程．
| 4 |
| 3 |
（2）根据经过两点直线斜率的公式，结合C、D的坐标，得到直线DC的斜率为-b．同理根据A、B两点的坐标，得到直线AB的斜率关于a、b的式子．再根据反比例解析式，有ab=4，代入化简可得KAB=
| b-4 |
| a-1 |
（3）根据四边形ABCD的对角线互相垂直，可得只要四边形ABCD是平行四边形，它就是一个菱形．再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．接下来利用两点的距离公式，根据CD=AB列出关于a、b的等式，结合ab=4，解之得a=b=2．从而得到当B点坐标为（2，2）时，四边形ABCD为菱形．最后用经过两点的直线斜率的公式，得出此时直线AB的斜率，从而可得直线AB方程．
解答：
解：（1）根据题意，得C（1，0），设点D（0，b），反比例函数解析式为y=
∵A（1，4）在反比例函数图象上，
∴4=
，即m=4，
再根据点B（a，b）在反比例函数图象上，可得ab=4，
∴S△ABD=0.5*a（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴联解方程组得：a=3，b=
，可得点B的坐标为（3，
）．------（4分）
（2）C（1，0），设D（0，b），
∴直线DC的斜率为KDC=
=-b．
同理，根据A（1，4），（a，b），可得直线AB的斜率为KAB=
．
∵点B在反比例函数图象上，有ab=4
∴KAB=
=
=-b=KDC
所以DC∥AB．------（4分）
（3）四边形ABCD能为菱形．
∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴当四边形ABCD是平行四边形时，四边形ABCD就是菱形．
由（2）得DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．
设
=
，
结合ab=4，可得a=b=2．
∴点为B（2，2）时，四边形ABCD为菱形时，
此时直线AB的斜率为KAB=
=-2，
由直线的点斜式方程，得AB方程为y-2=-2（x-2），化简得所求函数解析式为y=-2x+6；------（4分）
解：（1）根据题意，得C（1，0），设点D（0，b），反比例函数解析式为y=| m |
| x |
∵A（1，4）在反比例函数图象上，
∴4=
| m |
| 1 |
再根据点B（a，b）在反比例函数图象上，可得ab=4，
∴S△ABD=0.5*a（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴联解方程组得：a=3，b=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（2）C（1，0），设D（0，b），
∴直线DC的斜率为KDC=
| b-0 |
| 0-1 |
同理，根据A（1，4），（a，b），可得直线AB的斜率为KAB=
| b-4 |
| a-1 |
∵点B在反比例函数图象上，有ab=4
∴KAB=
| b-4 |
| a-1 |
| b-ab |
| a-1 |
所以DC∥AB．------（4分）
（3）四边形ABCD能为菱形．
∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴当四边形ABCD是平行四边形时，四边形ABCD就是菱形．
由（2）得DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．
设
| (1-a)2+(4-b)2 |
| 12+b2 |
结合ab=4，可得a=b=2．
∴点为B（2，2）时，四边形ABCD为菱形时，
此时直线AB的斜率为KAB=
| 2-4 |
| 2-1 |
由直线的点斜式方程，得AB方程为y-2=-2（x-2），化简得所求函数解析式为y=-2x+6；------（4分）
点评：本题以反比例函数图象为载体，一方面根据三角形的面积求点的坐标，另一方面证明直线互相平行、判断四边形形状，着重考查了直线的斜率和直线的方程、两点的距离公式和坐标系内三角形面积求法等知识点，属于中档题．
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