题目内容
（2006•重庆一模）已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P（x，y）在y轴上的射影为H，|
|是2和
•
的等比中项．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．
| PH |
| PM |
| PN |
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．
分析：（I）先用坐标表示出向量
=(-x，0)，
=(-2-x，-y)，
=(2-x，-y)，进而利用|
|是2和
•
的等比中项，可得(|
|)2=2
•
，从而求出动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|，所以双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为
；同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
，从而可求实轴最长的双曲线C的方程．
| PH |
| PM |
| PN |
| PH |
| PM |
| PN |
| PH |
| PM |
| PN |
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|，所以双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
| 10 |
| 10 |
| 10 |
解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以
=(-x，0)，
=(-2-x，-y)，
=(2-x，-y)
∴
•
=x2-4+y2，|
|2=x2
∵|
|是2和
•
的等比中项
∴(|
|)2=2
•
∴x2=2（x2-4+y2）
∴
+
=1为所求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为
同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
∴双曲线C的实半轴长为a=
∵c=
|MN|=2
∴b2=c2-a2=
∴实轴最长的双曲线C的方程为
-
=1．
所以
| PH |
| PM |
| PN |
∴
| PM |
| PN |
| PH |
∵|
| PH |
| PM |
| PN |
∴(|
| PH |
| PM |
| PN |
∴x2=2（x2-4+y2）
∴
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
| 10 |
| 10 |
同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
| 10 |
∴双曲线C的实半轴长为a=
| ||
| 2 |
∵c=
| 1 |
| 2 |
∴b2=c2-a2=
| 3 |
| 2 |
∴实轴最长的双曲线C的方程为
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
点评：本题以向量为载体，考查向量的坐标运算，考查动点的轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．
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