题目内容

若函数f（x）满足下列两个性质：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是[

a，

b]．则我们称f（x）为“内含函数”．
（1）判断函数f(x)=

是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数f(x)=

x-1

+t是“内含函数”，求实数t的取值范围．

分析：（1）根据新定义“内含函数”，要满足两条：一是在其定义域上是单调函数，二是在定义域内存在某个区间[a，b]，且在此区间上的值域是[

a，

b]即可．
（2）若函数f(x)=

x-1

+t是“内含函数”，其定义域为[1，+∞），且在定义域上单调递增，满足第一条；只要t再满足：存在区间[a，b]?[1，+∞），满足g(a)=

a，g(b)=

b，即可．

解答：解：（1）∵函数y=

，其定义域为[0，+∞），∴函数y=

在区间[0，+∞）上是单调增函数．
设y=

在区间[a，b]上的值域是[

，

]．
由

，解得

a=0

b=4

．
故函数y=

是“内含函数”，且a=0，b=4．
（2）设g（x）=

x-1

+t，其定义域为[1，+∞），且在定义域上单调递增．
∵g（x）为“内含函数”，∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足g(a)=

a，g(b)=

b．
即方程g(x)=

x在区间[1，+∞）内有两个不等实根．
也即方程

x-1

+t=

x在区间[1，+∞）内有两个不等实根，令

x-1

=m，则其可化为：
m+t=

(1+m2)，即方程m²-2m+（1-2t）=0有两个非负的不等实根x₁、x₂．
∴

△=4-4(1-2t)＞0

x1+x2＞0

x1x2≥0

解得0＜t≤

．
∴实数t的取值范围是0＜t≤

．

点评：充分理解新定义是进行判断的前提．其关键是看在定义域内方程f（x）=

x是否存在两个不等的实数根．

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已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f^-1（x），若函数f（x）满足下表：

那么，不等式|f^-1（x-1）|＜2的解集是

A.
{x| $数学公式$ ＜x＜4}
B.
{x| $数学公式$ ＜x＜3}
C.
{x|1＜x＜2}
D.
{x|1＜x＜5}

已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f^-1（x），若函数f（x）满足下表：

那么，不等式|f^-1（x-1）|＜2的解集是（）
A．{x|

＜x＜4}
B．{x|

＜x＜3}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|1＜x＜5}

若y=f(x)满足下表:

x	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+∞)
y′	-	0	+	0	-	0	+
y	↘	极小	↗	极大	↘	极小	↗

写出一个满足上表的函数___________.

已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f-1（x），若函数f（x）满足下表：那么，不等式|f-1（x-1）|＜2的解集是

试题分类

已知函数f（x）为R上的连续函数且存在反函数f^-1（x），若函数f（x）满足下表：

那么，不等式|f^-1（x-1）|＜2的解集是