Question

已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程.

(2)当点P(x₀,y₀)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.

(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

【解析】(1)因为F(0,c)到直线l:x-y-2=0的距离为,即=,所以c=1(注意c>0),可得抛物线C的方程为x²=4y.

(2)设切点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则=4y₁,=4y₂.

对x²=4y(即y=x²)求导可得y′=x,切线PA的斜率为=x₁,将= 4y₁代入整理可得2y₁-x₀x₁+2y₀=0①,同理切线PB的斜率为=x₂,将=4y₂代入整理可得2y₂-x₀x₂+2y₀=0②,由①②可得点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都适合方程2y-x₀x+2y₀=0,也就是当点P(x₀,y₀)为直线l上的定点时,直线AB的方程即为2y-x₀x+2y₀=0.

(3)由抛物线的性质可知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)到焦点F(0,c)的距离等于到准线y=-1的距离,所以|AF|=y₁+1,|BF|=y₂+1,|AF|·|BF|=(y₁+1)(y₂+1)=y₁y₂+y₁+y₂+1.

联立方程消去x整理得y²+(2y₀-)y+=0,由一元二次方程根与系数的关系可得y₁+y₂=-2y₀,y₁y₂=,所以|AF|·|BF|=+-2y₀+1.

又y₀=x₀-2,则+-2y₀+1=2+2y₀+5=

2+,所以当y₀=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.