Question

（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为

3 2

2

，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x₀，y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用焦点到直线l：x-y-2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；
（2）先设A(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；
（3）根据抛物线的定义，有|AF|=

1

4

x

2 1

+1，|BF|=

1

4

x

2 2

+1，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀，x₀=y₀+2，将它表示成关于y₀的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．

解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离d=

|-c-2|

2

=

c+2

2

=

3 2

2

，解得c=1
所以抛物线C的方程为x²=4y
（2）设A(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)
由（1）得抛物线C的方程为y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，所以切线PA，PB的斜率分别为

1

2

x1，

1

2

x2
所以PA：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)①PB：y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x2(x-x2)②
联立①②可得点P的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即x0=

x1+x2

2

，y0=

x1x2

4

又因为切线PA的斜率为

1

2

x1=

y0- 1 4 x 2 1

x0-x1

，整理得y0=

1

2

x1x0-

1

4

x

2 1

直线AB的斜率k=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

所以直线AB的方程为y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x0(x-x1)
整理得y=

1

2

x0x-

1

2

x1x0+

1

4

x

2 1

，即y=

1

2

x0x-y0
因为点P（x₀，y₀）为直线l：x-y-2=0上的点，所以x₀-y₀-2=0，即y₀=x₀-2
所以直线AB的方程为y=

1

2

x0x-x0+2
（3）根据抛物线的定义，有|AF|=

1

4

x

2 1

+1，|BF|=

1

4

x

2 2

+1
所以|AF|•|BF|=(

1

4

x

2 1

+1)(

1

4

x

2 2

+1)=

1

16

x

2 1

x

2 2

+

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+1=

1

16

x

2 1

x

2 2

+

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]+1
由（2）得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀，x₀=y₀+2
所以|AF|•|BF|=

y

2 0

+

1

4

(4

x

2 0

-8y0)+1=

x

2 0

+

y

2 0

-2y0+1=(y0+2)2+

y

2 0

-2y0+1=2

y

2 0

+2y0+5=2(y0+

1

2

)2+

9

2

所以当y0=-

1

2

时，|AF|•|BF|的最小值为

9

2

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．