Question

已知两个椭圆的方程分别是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；
（2）求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程．

Answer 1

（1）把C₁的方程化为标准方程，
得C₁：

x2

45

+

y2

5

=1∴a=3

5

，b=

5

，c=2

10

．
可知椭圆C₁的中心是原点，
焦点坐标分别是(2

10

，0)，(-2

10

，0)
把C₂的方程化为标准方程，
得C₂：

(x-3)2

36

+

y2

4

=1∴a=6，b=2，c=4

2

．
可知椭圆C₂的中心坐标是（3，0），
点坐标分别(3+4

2

，0)，(3-4

2

，0)
（2）解方程组

x2+9y2-45=0 x2+9y2-6x-27=0

解得

x=3 y=2

或

x=3 y=-2

所以两椭圆C₁，C₂的交点坐标是A（3，2），B（3，-2）
设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0、
因为A，B两点在圆上，所以有

3D+2E+F+13=0 3D-2E+F+13=0

解得E=0，F=-3D-13
从而所求圆的方程为x²+y²+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程x2+(

x+11

2

)2+Dx-3D-13=0即5x²+（22+4D）x-12D+69=0的判别式为0
就是D²+26D-56=0解得D=2，或D=-28
从而所求圆的方程是x²+y²+2x-19=0，或x²+y²-28x+71=0、