Question

已知两个椭圆的方程分别是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求这两个椭圆的中心、焦点的坐标；
（2）求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）先把C₁的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．进而可得椭圆C₁的中心和焦点坐标；同样把C₂的方程化为标准方程，根据椭圆的性质可知a，b的值，进而求得c的值．而可得椭圆C₁的中心和焦点坐标．
（2）把两个椭圆方程联立，可求得交点的坐标．设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B两点坐标代入联立方程，即可求得E和F，再利用圆与直线x-2y+11=0相切求得D，进而可得所求圆的方程．

解答：解：（1）把C₁的方程化为标准方程，
得C₁：

x2

45

+

y2

5

=1∴a=3

5

，b=

5

，c=2

10

．
可知椭圆C₁的中心是原点，
焦点坐标分别是(2

10

，0)，(-2

10

，0)
把C₂的方程化为标准方程，
得C₂：

(x-3)2

36

+

y2

4

=1∴a=6，b=2，c=4

2

．
可知椭圆C₂的中心坐标是（3，0），
点坐标分别(3+4

2

，0)，(3-4

2

，0)
（2）解方程组

x2+9y2-45=0 x2+9y2-6x-27=0

解得

x=3 y=2

或

x=3 y=-2

所以两椭圆C₁，C₂的交点坐标是A（3，2），B（3，-2）
设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0、
因为A，B两点在圆上，所以有

3D+2E+F+13=0 3D-2E+F+13=0

解得E=0，F=-3D-13
从而所求圆的方程为x²+y²+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程x2+(

x+11

2

)2+Dx-3D-13=0即5x²+（22+4D）x-12D+69=0的判别式为0
就是D²+26D-56=0解得D=2，或D=-28
从而所求圆的方程是x²+y²+2x-19=0，或x²+y²-28x+71=0、

点评：本题主要考查了椭圆的性质和椭圆与直线及圆的关系．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．