Question

【题目】已知椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为、，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）当直线与椭圆相切，交于点，，当时，求的直线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：1）利用椭圆离心率可知利用抛物线定义求出点的轨迹的方程；

（2）显然当AB斜率不存在时，不符合条件．当AB斜率存在时，设AB：y=kx+m，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）通过韦达定理结合OA⊥OB，转化求解即可．

详解：（1）由，得，，故，，

依条件可知，

∴的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，

∴的方程为．

（2）显然当斜率不存在时，不符合条件．

当斜率存在时，设：，

由消得，

∵与相切，

∴，得，①

又由消得，

设，，则，，

且有得，，

∵，

∴ ，

得，

联立①，得，故方程为．