题目内容

附加题：如图，过椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x0，y0），并且x0•y0≠0，试求直线AB的方程；    
②若椭圆的短轴长为8，并且
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．
分析：（1）设A （x1，y1），B （x2，y2），切线PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，由P点在切线PA、PB上，能求出直线AB的方程．
（2）在x0x+y0y=b2中，2b=8⇒b=4，b2=16，分别令y=0，得|OM|=
16
x0
，x=0 得|ON|=
16
y0
．代入
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
，得：
a2x02
162
+
y02
16
=
25
16
．由此能求出椭圆C的方程．
（3）假设存在点P（x0，y0）满足PA⊥PB，连OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=
2
|OA|．所以x02+y02=2b2，又P在椭圆上，所以a2x02+b2y02=a2b2，所以x02=
b2(a2-2b2)
a2-b2
，y02=
a2b2
a2-b2
．由此知当a2≥2b2＞0时，椭圆C上存在点P1满足条件，当a2＜2b2时，椭圆C上不存在满足条件的点P．
解答：解：（1）设A （x1，y1），B （x2，y2）切线PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，
∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0+y1y0=b2，x2x0+y2y0=b2．
∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2．
（2）在x0x+y0y=b2中，2b=8⇒b=4，b2=16，
分别令y=0，得|OM|=
16
x0
，x=0 得|ON|=
16
y0

代入
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
，得：
a2x02
162
+
y02
16
=
25
16
①
又P（x0，y0）在椭圆上：
y02
a2
+
x02
16
=1②⇒y02=(1-
x02
16
)a2代入①⇒a2=25∴所求椭圆为：
y2
25
+
x2
16
=1（xy≠0）
（3）假设存在点P（x0，y0）满足PA⊥PB，连OA、OB，
由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=
2
|OA|∴x02+y02=2b2①又P在椭圆上∴a2x02+b2y02=a2b2②
由①、②知：x02=
b2(a2-2b2)
a2-b2
，y02=
a2b2
a2-b2
∵a＞b＞0∴a2＞b2，
所以 当a2≥2b2＞0，即a≥
2
b时，椭圆C上存在点P1满足条件，
当a2＜2b2，即b＜a＜
2
b时，椭圆C上不存在满足条件的点P．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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精英家教网附加题：
A．如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB2=BE•CD．
B．设数列{an}，{bn}满足an+1=3an+2bn，bn+1=2bn，且满足
an+4
bn+4
=M
an
bn
，试求二阶矩阵M．
C．已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
D．已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

附加题：如图，过椭圆C：数学公式（a＞b＞0）上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x0，y0），并且x0•y0≠0，试求直线AB的方程；　　
②若椭圆的短轴长为8，并且数学公式，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．
附加题：
A．如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB2=BE•CD．
B．设数列{an}，{bn}满足an+1=3an+2bn，bn+1=2bn，且满足=M，试求二阶矩阵M．
C．已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
D．已知x，y，z均为正数．求证：．

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