Question

附加题：
A．如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=3a_n+2b_n，b_n+1=2b_n，且满足=M，试求二阶矩阵M．
C．已知椭圆C的极坐标方程为，点F₁，F₂为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．求点F₁，F₂到直线l的距离之和．
D．已知x，y，z均为正数．求证：．

Answer 1

【答案】分析：A：连接AC，因为EA切圆O于A，所以∠EAB=∠ACB．因为弧AB=弧AD，所以AB=AD，∠EAB=∠ACD，又四边形ABCD内接于圆O，所以△ABE∽CDA．所以AB²=BE•CD．
B：由题设得，设，则M=A⁴．由矩阵的运算法则能够求出二阶矩阵M的值．
C：直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为．由此能够求出点F₁，F₂到直线l的距离之和．
D：因为x，y，z都是为正数．所以，同理可得，，由此可得．
解答：A．证：连接AC，因为EA切圆O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因为弧AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，于是∠EAB=∠ACD（5分）
又四边形ABCD内接于圆O，所以∠ABE=∠D，所以△ABE∽CDA．
于是，即AB•DA=BE•CD，所以AB²=BE•CD（10分）
B解：由题设得，设，则M=A⁴．（5分）
M=A⁴=（A²）²==．（10分）
C解：（1）直线l普通方程为y=x-2；
曲线C的普通方程为．（5分）
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴点F₁到直线l的距离d₁==点F₂到直线l的距离d₂==，
∴．（10分）
D证明：因为x，y，z都是为正数．所以，
同理可得，，当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．（10分）
点评：本题考查二阶矩阵、极坐标方程、直线的参数方程和不等式的证明，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．