题目内容

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A；“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由事件C、D互斥，能求出取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（Ⅱ）先求出P（A），再由P（AB）=P（D），由此利用条件概率公式P（B/A）=
P(AB)
P(A)
能求出在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
（Ⅲ）由题设知ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3，由此能求出ξ的分布列的数学期望．
解答：解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C、D互斥，
则P（C）=
C
2
3
C
2
4
•
C
1
2
•
C
1
4
C
2
6
=
4
15
，
P（D）=
C
1
3
C
2
4
•
C
2
4
C
2
6
=
1
5
，
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=
4
15
+
1
5
=
7
15
．
（Ⅱ）∵“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A，
∴P（A）=
C
1
1
C
1
3
C
2
4
=
1
2
，
∵“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，
∴P（AB）=P（D）=
1
5
，
∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率P（B/A）=
P(AB)
P(A)
=
1
5
1
2
=
2
5
．
（Ⅲ）由题设知ξ可能的取值为0，1，2，3，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P（ξ=0）=
C
2
3
C
2
4
•
C
2
4
C
2
5
=
1
5
，
P（ξ=1）=
7
15
，
P（ξ=3）=
C
1
3
C
2
4
•
1
C
2
6
=
1
30
，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
3
10
，
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×
1
5
+1×
7
15
+2×
3
10
+3×
1
30
=
7
6
．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，考查条件概率的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
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已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列（要求画出分布表格）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在先从甲盒内一次随机取2个球，再从乙盒内一次随机取出2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等．
（Ⅰ）求取出的4个球都是黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有3个黑球的概率．
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的x个红球和4个黑球．现在先从甲盒内一次随机取2个球，再从乙盒内一次随机取出2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等．已知取出的4个球都是黑球的概率
15
．
（I）求乙盒内红球的个数x；
（II）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
已知甲盒内有大小相同的2个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．
已知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，且分别标记为：1（红）、2、3号；乙盒内有大小相同的2个红球和1个黑球，且分别标记为：4（红）、5（红）、6号．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．
（Ⅰ）试列举出所有的基本事件，并求取出的2个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的2个球中恰有1个红球的概率．

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