题目内容
已知函数(均为正常数),设函数在处有极值.
(1)若对任意的,不等式总成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
(1);(2).
解析试题分析:本题主要考查导数的应用、不等式、三角函数等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查函数思想、转化思想等数学思想方法.第一问,对求导,因为在有极值,所以是的根,列出表达式,求出,不等式恒成立等价于恒成立,所以下面的主要任务是求的最大值,对求导,利用三角公式化简,求的最值,判断的正负,从而判断的单调性,求出最大值;第二问,由单调递增,所以解出的取值范围,由已知在上单调递增,所以得出,利用子集关系列出不等式组,解出.
试题解析:∵,∴,
由题意,得,,解得. 2分
(1)不等式等价于对于一切恒成立. 4分
记
5分
∵,∴,∴,∴,
∴,从而在上是减函数.
∴,于是,故的取值范围是. 6分
(2),由,得,即
. 7分
∵函数在区间上单调递增,
∴,
则有,, 9分
即,,
∴只有时,适合题意,故的取值范围为. 12分
考点:1.导数的运算;2.两角和的正弦公式;3.三角函数的最值;4.恒成立问题;5.利用导数判断函数的单调性.
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