题目内容
已知f(x)=xlnx.
(I)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)证明:都有
。
(I)(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:
(I)本小题首先根据函数的导函数,通过其分析函数
的单调性,从而可得其在区间
上的单调性,然后可求其最小值
(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,当时,
的最小值为
,于是把问题等价于证明
,然后利用导数分析其函数的单调性,进而求得最值,便可证明。
试题解析:
(Ⅰ)解:,令
.
当单调递减;
当单调递增.
因为,
(1)当0<t<时
;
(2)当t≥时,
所以
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当时,
的最小值为
于是问题等价于证明
设
则,易得
从而对一切,都有
成立
考点:1导数公式;2.函数的单调性;3.函数的最值.