题目内容
【题目】设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,若 ,则弦长|AB|等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】C
【解析】解:∵抛物线方程为y2=4x,
∴2p=4,p=2,可得抛物线的焦点为F(1,0),准线为l:x=﹣1,
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线AB的方程为y=k(x﹣1),
由 消去y,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2= ,x1x2=1,
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,
∴设P的坐标为(x0 , y0),可得y0= (y1+y2),
∵y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),
∴y1+y2=k(x1+x2)﹣2k=k ﹣2k=
,
得到y0= =
,所以x0=
=
,可得P(
,
).
∵ ,∴
=
,解之得k2=2,
因此x1+x2= =4,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6.
故选:C
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