Question

一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．

(1)求证：PB∥平面ACE；

(2)求证：PC⊥BD；

(3)求三棱锥C－PAB的体积．

Answer 1

解：(1)证明：依题意，该三视图所对应的几何体为侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，且PA＝AB＝AD＝1，四边形ABCD为正方形．

分别连接AC、BD交于点O，连接EO，

∵E是PD的中点，∴PB∥EO.

又PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

∴PB∥平面ACE.

(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，

∴BD⊥PA.

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，

∴PC⊥BD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，

∴V_C－PAB＝V_P－ABC＝×S_△ABC×PA

＝××1×1×1＝.

∴三棱锥C－PAB的体积为.