题目内容
已知函数f（x）=
（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e-2．
| lnx+k | ex |
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e-2．
分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；
（Ⅱ）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）g（x）=（x2+x）f′（x）=
（1-xlnx-x），分别研究r（x）=1-xlnx-x，s（x）=
的单调性，可得函数的范围，即可证明结论．
（Ⅱ）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）g（x）=（x2+x）f′（x）=
| 1+x |
| ex |
| 1+x |
| ex |
解答：（Ⅰ）解：f′(x)=
，
依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′(1)=
=0，
∴k=1为所求．
（Ⅱ）解：k=1时，f′(x)=
（x＞0）
记h（x）=
-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，
∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴原函数在（0，1）上为增函数．
∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（Ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）f′（x）=
（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究
．
①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e-2，
当x∈（0，e-2）时，r′（x）＞0，r（x）单增；
当x∈（e-2，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．
∴r（x）max=r（e-2）=1+e-2，即1-xlnx-x≤1+e-2．
②记s（x）=
，x＞0，
∴s′(x)=-
＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减，
∴s（x）＜s（0）=1，即
＜1．
综①、②知，g（x））=
（1-xlnx-x）≤（
）（1+e-2）＜1+e-2．
| ||
| ex |
依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′(1)=
| 1-k |
| e |
∴k=1为所求．
（Ⅱ）解：k=1时，f′(x)=
| ||
| ex |
记h（x）=
| 1 |
| x |
∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴原函数在（0，1）上为增函数．
∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（Ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）f′（x）=
| 1+x |
| ex |
| 1+x |
| ex |
①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e-2，
当x∈（0，e-2）时，r′（x）＞0，r（x）单增；
当x∈（e-2，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．
∴r（x）max=r（e-2）=1+e-2，即1-xlnx-x≤1+e-2．
②记s（x）=
| 1+x |
| ex |
∴s′(x)=-
| x |
| ex |
∴s（x）＜s（0）=1，即
| 1+x |
| ex |
综①、②知，g（x））=
| 1+x |
| ex |
| 1+x |
| ex |
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．
练习册系列答案
相关题目