Question

已知y轴右侧一动圆与一定圆外切，也与y轴相切.

  （1）求动圆圆心的轨迹C；

  （2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，求一点，使得 是以点E为直角顶点的等腰直角三角形。

Answer 1

（1）动点C₁的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.

（2）E点坐标为（10,0）

解析:

（1）由题意知动点C₁到定点（2,0）与到定直线的距离相等，则动点M的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线为准线的抛物线。所以点M的轨迹方程为

       又点C₁在原点时，动圆不存在，所以，动点C₁的轨迹C是以（0，0）为顶点，以

（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.

（2）设直线……①

       设①的两个实数根，由韦达定理得

，

       所以，线段AB的中点坐标为

       而

若x轴上存在一点, 使△AEB是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，

       则，且 ,直线EF的方程为：

       令得E点坐标为，则

=, 所以 解得 ，

则E点坐标为（10,0）