题目内容
已知F1（-1，0）、F2（1，0），圆F2：（x-1）2+y2=1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|=
，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|=
| 7 | 3 |
（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，知|CF2|-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，|PF1|=
，得xp=
，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围．
（2）依题意，c=1，|PF1|=
| 7 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，
所以|CF2|-x=1，…（1分）
∴
=x+1，
化简整理得y2=4x，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依题意，c=1，|PF1|=
，
得xp=
，…（4分）
∴|PF2|=
，
又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=
+
=4，a=2．…（5分）
∴b2=a2-c2=3，所以曲线E的标准方程为
+
=1．…（6分）
（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），
A，B的中点M的坐标为（x0，y0），
将A，B的坐标代入椭圆方程中，
得
，
两式相减得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，
∴
=-
，…（7分）
∵y02=4x0，
∴直线AB的斜率k=
=-
y0，…（8分）
由（2）知xp=
，
∴yp2=4xp=
，∴yp=±
由题设-
＜y0＜
(y0≠0)，
∴-
＜-
y0＜
，…（10分）
即-
＜k＜
（k≠0）．…（12分）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，
所以|CF2|-x=1，…（1分）
∴
| (x-1)2+y2 |
化简整理得y2=4x，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依题意，c=1，|PF1|=
| 7 |
| 3 |
得xp=
| 2 |
| 3 |
∴|PF2|=
| 5 |
| 3 |
又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=
| 7 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴b2=a2-c2=3，所以曲线E的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（3）设直线l与椭圆E交点A（x1，y1），B（x2，y2），
A，B的中点M的坐标为（x0，y0），
将A，B的坐标代入椭圆方程中，
得
|
两式相减得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，
∴
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 3x0 |
| 4y0 |
∵y02=4x0，
∴直线AB的斜率k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 3 |
| 16 |
由（2）知xp=
| 2 |
| 3 |
∴yp2=4xp=
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
由题设-
2
| ||
| 3 |
2
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| 3 |
∴-
| ||
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| 3 |
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| 8 |
即-
| ||
| 8 |
| ||
| 8 |
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．
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