Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0），圆F₂：（x-1）²+y²=1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F₁，F₂为焦点的椭圆．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，，得，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x，y），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴，
化简整理得y²=4x，曲线C的方程为y²=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依题意，c=1，，
得，…（4分）
∴，
又由椭圆定义得．…（5分）
∴b²=a²-c²=3，所以曲线E的标准方程为．…（6分）
（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A，B的中点M的坐标为（x，y），
将A，B的坐标代入椭圆方程中，
得，
两式相减得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴，…（7分）
∵，
∴直线AB的斜率，…（8分）
由（2）知，
∴，∴
由题设，
∴，…（10分）
即（k≠0）．…（12分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．