Question

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

Answer 1

分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表达式，进而表示出AD，则总路程S与α的关系可得．
（2）对函数S进行求导，令S'=0求得cosα的值，进而根据导函数判断函数的单调性的方法，可推断出当cosα＞

1

4

时，当cosα＜

1

4

和当cosα=

1

4

函数的单调性和函数的最小值，进而求得总路程最小时AD的长．

解答：解：（1）在△BCD中，∵

BD

sin60°

=

BC

sinα

=

CD

sin(120°-α)

，
∴BD=

3 2

sinα

，CD=

sin(120°-α)

sinα

．
则AD=1-

sin(120°-α)

sinα

．
S=400•

3 2

sinα

+100[1-

sin(120°-α)

sinα

]=50-50

3

•

cosα-4

sinα

，其中

π

3

≤α＜

2π

3

．

（2）S′=-50

3

•

-sinα•sinα-(cosα-4)cosα

sin2α

=50

3

•

1-4cosα

sin2α

令S'=0，得cosα=

1

4

．
当cosα＞

1

4

时，S'＜0，S是α的单调减函数；
当cosα＜

1

4

时，S'＞0，S是α的单调增函数．
∴当cosα=

1

4

时，S取得最小值．
此时，sinα=

15

4

，
AD=1-

sin(120°-α)

sinα

=1-

3 2 cosα+ 1 2 sinα

sinα

=

1

2

-

3 cosα

2sinα

=

1

2

-

3

2

•

1 4

15 4

=

1

2

-

5

10

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．