题目内容

【题目】已知椭圆M:: + =1(a>0)的一个焦点为F(﹣1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(1)求椭圆方程;
(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.

【答案】
(1)解:因为F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以c=1,又b2=3,

所以a2=4,所以椭圆方程为 =1;


(2)解:因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,

所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到

,消掉y,得到7x2+8x﹣8=0,

所以△=288,x1+x2= ,x1x2=﹣

所以|CD|= |x1﹣x2|= × =


(3)解:当直线l无斜率时,直线方程为x=﹣1,

此时D(﹣1, ),C(﹣1,﹣ ),△ABD,△ABC面积相等,|S1﹣S2|=0,

当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),

设C(x1,y1),D(x2,y2),

和椭圆方程联立得到 ,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,

显然△>0,方程有根,且x1+x2=﹣ ,x1x2=

此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|

=2|k(x2+x1)+2k|= = = = ,(k= 时等号成立)

所以|S1﹣S2|的最大值为


【解析】(1)由焦点F坐标可求c值,根据a,b,c的平方关系可求得a值;(2)写出直线方程,与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|;(3)当直线l不存在斜率时可得,|S1﹣S2|=0;当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),与椭圆方程联立消y可得x的方程,根据韦达定理可用k表示x1+x2 , x1x2 , |S1﹣S2|可转化为关于x1 , x2的式子,进而变为关于k的表达式,再用基本不等式即可求得其最大值;
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:

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