题目内容
设命题p:复数z=(2+mi)2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限;命题q:?x∈R,3x2+2mx+(m+6)>0.若命题“(¬p)∧q”为真命题,求实数m的取值范围.
分析:由命题p:复数z=(2+mi)2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限,得命题P:0<m<4.由命题q:?x∈R,3x2+2mx+(m+6)>0,得命题q:-3<m<6.由命题“(¬p)∧q”为真命题,知命题p是假命题,命题q是真命题,所以
,由此能求出实数m的取值范围.
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解答:解:∵命题p:复数z=(2+mi)2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限,
∴z=(2+mi)2=4+4mi+m2i2=(4-m)+4mi在复平面内对应的点在第一象限,
∴
,∴0<m<4.
∵命题q:?x∈R,3x2+2mx+(m+6)>0,
∴△=(2m)2-4×3×(m+6)<0,
∴-3<m<6.
∵命题“(¬p)∧q”为真命题,
∴命题p是假命题,命题q是真命题,
∴
,
∴-3<m≤0,或4≤m<6,
故实数m的取值范围是{m|-3<m≤0,或4≤m<6}.
∴z=(2+mi)2=4+4mi+m2i2=(4-m)+4mi在复平面内对应的点在第一象限,
∴
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∵命题q:?x∈R,3x2+2mx+(m+6)>0,
∴△=(2m)2-4×3×(m+6)<0,
∴-3<m<6.
∵命题“(¬p)∧q”为真命题,
∴命题p是假命题,命题q是真命题,
∴
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∴-3<m≤0,或4≤m<6,
故实数m的取值范围是{m|-3<m≤0,或4≤m<6}.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,解题时要认真审题,注意得复数和一元二次不等式等知识点的灵活运用.
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