Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连接AF．
（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（II）当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线AB与平面CBD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由题意知，△ACD是正三角形，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，故CD⊥平面AEF，从而证明结论．
（II）AE⊥平面CBD，∠ABE就是直线AB与平面CBD所成的角，解直角三角形ABE，可求∠ABE的大小．

解答：（I）证明：在Rt△ABC中，D为AB的中点，
得AD=CD=DB，又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中点，得AE⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD?平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）

（II）解：∵二面角A-CD-B是直二面角，
且AE⊥CD，∴AE⊥平面CBD．（8分）
连接EB，AB，则∠ABE就是直线AB与
平面CBD所成的角．（9分）
设AC=a，在△CDB中，
∠DCB=30°，CE=

a

2

，CB=

3

a，
∴EB2=CE2+CB2-2CE•CB•cos∠DCB=

7

4

a2，又AE=

3

2

a，在Rt△AEB中，tan∠ABE=

AE

EB

=

3 2 a

7 2 a

=

21

7

．
∴直线AB与平面CBD所成角的正切值为

21

7

．（14分）

点评：证明2个平面垂直，关键在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直，求线面角，关键是找出线在平面内的射影．