题目内容

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根αβ,证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件

见解析


解析:

.证明: (1)(充分性)由韦达定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4

f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0

即有4+b>2a>-(4+b)又|b|<44+b>02|a|<4+b

(2)必要性由2|a|<4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线∴方程f(x)=0的两根αβ同在(-2,2)内或无实根αβ是方程f(x)=0的实根,∴αβ同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2

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