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题目内容
设a
1
,a
2
,…,a
2010
都为正数,且a
1
+a
2
+…+a
2010
=1,则
a
2
1
2+
a
1
+
a
2
2
2+
a
2
+…+
a
2
2010
2+
a
2010
的最小值是
.
试题答案
相关练习册答案
分析:
利用题中条件:“a
1
+a
2
+…+a
2010
=1”构造柯西不等式:
(
a
2
1
2+
a
1
+
a
2
2
2+
a
2
+…+
a
2
2010
2+
a
2010
)[(
2+
a
1
)
2
+(
2+
a
2
)
2
+…+(
2+
a
2010
)
2
]
≥(a
1
+a
2
+…+a
2010
)
2
这个条件进行计算最小值即可.
解答:
解:由柯西不等式,得
(
a
2
1
2+
a
1
+
a
2
2
2+
a
2
+…+
a
2
2010
2+
a
2010
)[(
2+
a
1
)
2
+(
2+
a
2
)
2
+…+(
2+
a
2010
)
2
]
≥(a
1
+a
2
+…+a
2010
)
2
=1,
所以
a
2
1
2+
a
1
+
a
2
2
2+
a
2
+…+
a
2
2010
2+
a
2010
≥
1
4021
.
故最小值是
1
4021
.
故答案为:
1
4021
.
点评:
本题考查用综合法证明不等式、柯西不等式在函数极值中的应用,属于基础题.
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设A
1
、A
2
是椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
=1的长轴两个端点,P
1
、P
2
是垂直于A
1
A
2
的弦的端点,则直线A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程为( )
A、
x
2
9
+
y
2
4
=1
B、
y
2
9
+
x
2
4
=1
C、
x
2
9
-
y
2
4
=1
D、
y
2
9
-
x
2
4
=1
10、设a
1
,a
2
,…,a
n
是1,2,…,n的一个排列,把排在a
i
的左边且比a
i
小的数的个数称为a
i
的顺序数(i=1,2,…,n).如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为( )
A、48
B、96
C、144
D、192
(2012•吉安县模拟)设a
1
,a
2
,…,a
n
是正整数1,2,3…n的一个排列,令b
j
表示排在j的左边且比j大的数的个数,b
j
称为j的逆序数,如在排列3,5,1,4,2,6中,5的逆序数是0,2的逆序数是3,则由1至9这9个数字构成的所有排列中,满足1的逆序数是2,2的逆序数是3,5的逆序数是3的不同排列种数是( )
A.720
B.1008
C.1260
D.1440
设A
1
、A
2
是椭圆
+
=1(a>b>0)长轴的两个端点,P
1
P
2
是垂直于x轴的弦,求直线A
1
P
1
、A
2
P
2
的交点P的轨迹方程.
设A
1
、A
2
是椭圆
+
=1(a>b>0)长轴的两个端点,P
1
P
2
是垂直于x轴的弦,求直线A
1
P
1
、A
2
P
2
的交点P的轨迹方程.
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