题目内容

已知函数y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)相邻的两个最高点和最低点分别为(
π
6
，2)，(
2π
3
，-2)
（Ⅰ）求函数表达式；
（Ⅱ）求该函数的单调递减区间；
（Ⅲ）求x∈[0，
π
2
]时，该函数的值域．
分析：（I）根据函数y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)相邻的两个最高点和最低点分别为，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将(
π
6
，2)代入解析式，结合|φ|＜
π
2
，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
（II）由2x+
π
6
∈[
π
2
+2kπ，
3π
2
+2kπ]，k∈Z，求出自变量的取值范围，可得函数的单调递减区间；
（Ⅲ）由x∈[0，
π
2
]，求出相位角2x+
π
6
的取值范围，进而根据正弦函数的图象求出最值，可得函数的值域．
解答：解：（I）由函数图象相邻的两个最高点和最低点分别为(
π
6
，2)，(
2π
3
，-2)
∵A＞0
∴A=2
∵
T
2
=
2π
3
-
π
6
=
π
2
，ω＞0
∴ω=2
∴y=2sin（2x+φ）
将(
π
6
，2)代入y=2sin（2x+φ）得sin（
π
3
+φ）=1
即
π
3
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z
即φ=
π
6
+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜
π
2

∴φ=
π
6

∴函数表达式为2sin（2x+
π
6
）
（II）由2x+
π
6
∈[
π
2
+2kπ，
3π
2
+2kπ]，k∈Z，得
x∈[
π
6
+2kπ，
2π
3
+2kπ]，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为[
π
6
+2kπ，
2π
3
+2kπ]，k∈Z，
（III）当x∈[0，
π
2
]时，
2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时，函数取最大值2
当2x+
π
6
=
7π
6
时，即x=
π
2
时，函数取最小值-1
∴函数的值域为[-1，2]
点评：本题考查的知识点是正弦型函数的解析式求法，正弦型函数的单调区间，正弦型函数在定区间上的值域，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知函数y=Asin（ωx+φ），在同一周期内，当x=
π
12
时，取最大值y=2，当x=
7π
12
时，取得最小值y=-2，那么函数的解析式为（　　）
A、y=
1
2
sin（x+
π
3
）
B、y=2sin（2x+
π
3
）
C、y=2sin（
x
2
-
π
6
）
D、y=2sin（2x+
π
6
）
精英家教网已知函数y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，-π≤∅≤π）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（　　）
A、y=2sin(
3
2
x+
π
2
)
B、y=2sin(3x+
π
6
)
C、y=2sin(3x-
π
6
)
D、y=2sin(3x-
π
2
)
已知函数y=Asin(ωx+?)+B(A＞0，ω＞0，|?|＜
π
2
)的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则φ=
-
π
6
-
π
6
．
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的一部分图象如图所示，则（　　）
已知函数y=Asin（ωx+∅）+k的最大值为4，最小值为0，最小正周期是
π
2
，在x∈[
π
24
，
π
12
]上单调递增，则下列符合条件的解析式是（　　）

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