题目内容
9．某人年初用98万元购买了一条渔船，第一年各种费用支出为12万元，以后每年都增加4万元，而每年捕鱼收益为50万元．（1）第几年他开始获利？
（2）若干年后，船主准备处理这条渔船，有两种方案：
①年平均获利最大时，以26万元出售这条渔船；②总收入最多时，以8万元出售这条渔船．
请你帮他做出决策．
分析 （1）通过纯收入与年数n的关系f（n）=-2n2+40n-98，进而问题转化为求不等式-2n2+40n-98＞0的最小正整数解，计算即得结论；
（2）方案一：通过年平均获利$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{49}{n}$），利用基本不等式计算即可；方案二：通过配方可知f（n）=-2（n-10）2+102，进而计算可得结论．
解答 解：（1）由题意，每年的费用支出是以12为首项、4为公差的等差数列，
∴纯收入与年数n的关系f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98=-2n2+40n-98，
由题设知，f（n）＞0，即-2n2+40n-98＞0，
解得10-$\sqrt{51}$＜n＜10+$\sqrt{51}$，
又∵n∈N*，∴2＜n＜18，
即n=3，4，5，…，17，
故第3年开始获利；
（2）方案一：年平均获利$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{49}{n}$）≤40-2×14=12，
当且仅当n=$\frac{49}{n}$，即n=7时，等号成立，
∴前7年年平均获利最大，此时出售渔船，总收入为12×7+26=110（万元）；
方案二：f（n）=-2n2+40n-98=-2（n-10）2+102，
当n=10时，f（n）取得最大值，为102，
此时出售渔船，总收入为102+8=110（万元）；
综上所述，这两种方案的总收入均为110万元，
而方案一只要用7年时间，而方案二要用10年时间，
所以建议船主选择方案一处理这条渔船．
点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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