Question

17．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：
①M，N都在函数y=f（x）的图象上； ②M，N关于y轴对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”．（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|（x＞0）}\\{|{x}^{2}+4x|（x≤0）}\end{array}\right.$，则此函数的“友好点对”有3对．

Answer 1

分析 根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=|x²+4x|（x≤0）的图象关于y轴对称的图象，看它与函数f（x）=|log₃x|（x＞0）交点个数即可．

解答 解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=|（-x）²+4（-x）|=|x²-4x|，
则函数y=|x²+4x|（x≤0）的图象关于y轴对称的函数是y=|x²-4x|（x≥0），
由题意知，作出函数y=|x²-4x|（x≥0）的图象及函数f（x）=|log₃x|（x＞0）的图象，
如下图所示：

由图可得两个函数图象共有三个交点
即f（x）的“友好点对”有：3个．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．