Question

18．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$其中t为参数，0≤α＜π，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l上点的最大距离．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程中消去参数t，能求出直线l的直角坐标方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x．能求出曲线C的普通方程．
（2）求出曲线C的圆心和半径，求出圆心（2，0）到直线sinαx-cosαy+cosα=0，0≤α＜π的距离d，由此能求出曲线C上的点到直线l上点的最大距离．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$其中t为参数，0≤α＜π，
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx-cosαy+cosα=0．
∵曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，
∴曲线C的普通方程为x²+y²-4x+3=0．
（2）曲线C的方程x²+y²-4x+3=0转化为（x-2）²+y²=1，圆心为（2，0），半径r=1，
圆心（2，0）到直线sinαx-cosαy+cosα=0，0≤α＜π的距离d=$\frac{|2sinα+cosα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|$\sqrt{5}sin（α+θ）$|$≤\sqrt{5}$，
∴曲线C上的点到直线l上点的最大距离d_max=$\sqrt{5}+1$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．