Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设

则由                                 1分

由得              2分

即

所以c=1         3分

又因为        5分

因此所求椭圆的方程为：      6分

   （2）动直线的方程为：

由得                

设

则   

假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

 

由假设得对于任意的恒成立，

即解得m=1。                               

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点M的坐标为（0，1）       

（另解  令K＝0 代入 得m＝1  或m＝，把其都代入。其中m＝1时恒成立；m＝时不恒成立。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 点M的坐标为（0，1）  

 

【解析】略