Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1对?x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m的根的个数．

Answer 1

分析：（1）先利用f（x）是实数集R上的奇函数求出a，再利用g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数求出g（-1）即可．
（2）利用（1）的结论把问题转化为（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立，再利用图形找到t满足的条件即可．
（3）把研究根的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，借助于图形可得结论．

解答：解：（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，则ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）恒成立．
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1.1+ae^-x+ae^x+a²=1，∴a（e^x+e^-x+a）=0，∴a=0．
又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，

（2）只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），则

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0

∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0

而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．

（3）由（1）知f（x）=x，∴方程为

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m，
∵f′1(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，f′₁（x）≥0，f₁（x）在x∈（0，e]上为增函数；
x∈[e，+∞）时，f′₁（x）≤0，f₁（x）在x∈[e，+∞）上为减函数，
当x=e时，f1(x)max=f1(e)=

1

e

．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴函数f₁（x）、f₂（x）在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当m-e2＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无解．
②当m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有一个根．
③当m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根．

点评：本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．