Question

下列命题中，真命题的个数为（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，则

AB

在

CD

上的投影为-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题；
（4）函数f（x）=xsinx在（0，π）上有最大值，没有最小值．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据正弦定理及三角形中“大边对大角”，可以判断（1）的真假；
根据向量投影的定义，计算出

AB

在

CD

上的投影，可判断（2）的真假；
根据余弦函数和二次函数的图象和性质，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表得到答案．
利用导数法，求出函数的导数，分析其最值是否存在，可判断（4）的真假，进而得到答案．

解答：解：在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB，故（1）正确；
∵

AB

=（3，4），

CD

=（-2，-1），则

AB

在

CD

上的投影为

AB • CD

| CD |

=

-10

5

=-2

5

，故（2）不正确；
∵x=0时，cosx=1，故命题p为真命题，
∵y=x²-x+1的图象开口朝上，且与x轴没有交点，故命题q为真命题，故“p∧￢q”为假命题，故（3）正确．
∵f（x）=xsinx，故f′（x）=sinx+xcosx，
令f′（x）=0，则x=-tanx，
∵存在x₀∈（0，π）使x=-tanx，故当x=x₀时，函数f（x）=xsinx取最大值，但没有最小值，故（4）正确
故真命题有3个，
故选C

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，向量的投影，对数函数的图象和性质，正弦型函数的图象和性质，其中（3）（4）较难