Question

12．下列说法中：
①函数y=log₂（2x-x²）的单调递增区间是（-∞，1）；
②若不等式x²+2ax-a≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[-1，0]；
③已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-2）x+6a-1（x＜1）}\\{{a}^{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，在（-∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$）；
④函数f（x）=x²+ax+3（a∈R）在x∈[-1，1]上的最小值是1，则a=3或a=-3．
其中正确说法的序号有②④（注：把你认为是正确的洗好都填上）

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性，和对数函数的定义域，求出函数的单调区间，可判断①；根据二次函数的图象和性质，求出a的取值范围，可判断②；根据分段函数的单调性，求出a的取值范围，可判断③；据二次函数的图象和性质，求出a的值，可判断④．

解答 解：①函数y=log₂（2x-x²）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
当x∈（-∞，0）时，t=2x-x²为增函数，y=log₂t为增函数，函数y=log₂（2x-x²）为增函数，
故单调递增区间时（-∞，0），故错误；
②若不等式x²+2ax-a≥0对x∈R恒成立，则△=4a²+4a≤0，解得：a∈[-1，0]，故正确；
③函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-2）x+6a-1（x＜1）}\\{{a}^{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，在（-∞，+∞）上单调递减，则$\left\{\begin{array}{l}3a-2＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-2+6a-1≥a\end{array}\right.$，解得a∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$），故错误；
④函数f（x）=x²+ax+3（a∈R）在x∈[-1，1]上的最小值是1，
若$-\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2，则f（1）=4+a=1，解得：a=-3；
若-1＜$-\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2，则f（$-\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，解得：a=-2$\sqrt{2}$（舍去）；
若$-\frac{a}{2}$≤-1，即a≥2，则f（-1）=4-a=1，解得：a=3；
则a=3或a=-3．故正确；
故正确的说法为：②④，
故答案为：②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合函数，二次函数的图象和性质，分段函数的单调性，难度中档．