题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)当,取得极小值;当时,取得极大值;(2)见解析.
【解析】【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.
【试题解析】
(1)当时,,
,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减.
所以,当,取得极小值;
当时,取得极大值.
(2)证明:当时,,,
所以不等式可变为.
要证明上述不等式成立,即证明.
设,则,
令,得,
在上,,是减函数;
在上,,是增函数.
所以.
令,则,
在上,,是增函数;在上,,是减函数,
所以,
所以,即,即,
由此可知.
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