Question

【题目】设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1恰好是线段QF2的中点．
（1）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（ ，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x= 于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1 ， k2 ， 试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，

设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），

∵∠QAF1=90°，

∴b2=3c2，

由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，

由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，

∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，

即 =2c，

解得：c=1，b2=3，a2=4，

∴椭圆的标准方程：

（2）

解：设E（x1，y1），F（x2，y2），

直线PQ的方程为x=my+ ，代入椭圆方程 ，

4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由B，E，M，三点共线，可知： = ，即yM= ，

同理可得：yN= ，

∴k1k2= × = = ，

由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，

∴k1k2= =﹣ ，

∴k1k2是否为定值﹣

【解析】（1）由题意可知b2=3c2 ， 根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M和N点的纵坐标，利用斜率公式求得k1 ， k2 ， 利用韦达定理即可求得k1k2 ．