Question

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=loga

1+x

1-x

，求出它的定义域为（-1，1），再由F（-x）=-F（x）可得，此函数为奇函数．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要log_a（1+x）（1-x）＜0．分a＞1和 0＜a＜1，分别解对数不等式求出x的集合．

解答：解：（1）函数f（x）-g（x）是奇函数，
证明：令F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

x+1＞0 1-x＞0

 求得-1＜x＜1，故F（x） 的定义域为（-1，1）．
再由F（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-F（x），可得F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要log_a（1+x）（1-x）＜0．
①当a＞1时，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得，0＜（1+x）（1-x）＜1，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
故使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为（-1，0）∪（0，1）．
②当 0＜a＜1时，由log_a（1+x）（1-x）＜0 可得 （1+x）（1-x）＞1，解得 x∈∅，
此时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为∅．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，对数的运算性质的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．