Question

【题目】设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：在上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）在处取得极大值无极小值（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值（2）证明不等式，一般利用函数最值进行证明，而构造恰当的函数是解题的关键与难点，因为，所以首先将对数函数与指数函数分离，为使函数有最值，再作变形：，这样只需证明：，利用导数不难求得，，所以，但等号取法不同，因此

试题解析：（1）当时，，

∴当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减．

∴在处取得极大值无极小值

（2）当时，，

下面证，即证．

设， 则，

在上，是减函数；在上，是增函数．

所以．

设， 则，

在上，是增函数；在上，是减函数，

所以，．

所以，即，所以，即，

即在上恒成立