题目内容

设椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（ $数学公式$ ），且其右焦点到直线 $数学公式$ 的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（ $数学公式$ ），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，a=2
∴椭圆C的标准方程： $\text{[math]}$
（2）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ （Ⅰ）
则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②两式相减得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ） $\text{[math]}$
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
$\text{[math]}$ 消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0 $\text{[math]}$
直线AB的中垂线方程为 $\text{[math]}$
把点 $\text{[math]}$ 代入得 $\text{[math]}$
可知 $\text{[math]}$
所以Q的横坐标 $\text{[math]}$
即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由于 $\text{[math]}$ ，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0（Ⅰ）
则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②两式相减得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ） $\text{[math]}$
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x₀=2t-2＜2t＜2
因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，a=2，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则x₁²+2y₁²，x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
另解：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P₀（x₀，y₀）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）， $\text{[math]}$ 消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0， $\text{[math]}$ ，直线AB的中垂线方程为 $\text{[math]}$ ．由此能导出“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P₀（x₀，y₀）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由于 $\text{[math]}$ ，所以（x₂-x₁）（t-x₀）+（y₂-y₁）（-y₀）=0，则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．由此能导出当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．