题目内容
已知a,b>0,a+b=1,则
+
的取值范围是 .
a+1 |
b+1 |
分析:利用导数或基本不等式的性质即可得出.
解答:解:方法一:∵a,b>0,a+b=1,∴b=1-a,0<a<1,∴
+
=
+
.
令f(a)=
+
,a∈(0,1).
则f′(a)=
-
=
=
,
令f′(a)=0,则a=
.
当0<a<
时,f′(a)>0,函数f(a)单调递增;当
<a<1时,f′(a)<0,函数f(a)单调递减.
∴当a=
时,函数f(a)取得最大值f(
)=
+
=
.
又f(0)=1+
=f(1),∴当a∈(0,1)时,1+
<f(a)≤
.
因此
+
的取值范围是(1+
,
].
方法二:求最大值.
∵a,b>0,a+b=1,∴(
+
)2≤2(a+1+b+1)=6,∴
+
≤
,当且仅当a=b=
时取等号.
即
+
的最大值为
.
a+1 |
b+1 |
a+1 |
2-a |
令f(a)=
a+1 |
2-a |
则f′(a)=
1 | ||
2
|
1 | ||
2
|
| ||||
2
|
1-2a | ||||||||
2
|
令f′(a)=0,则a=
1 |
2 |
当0<a<
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当a=
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2-
|
6 |
又f(0)=1+
2 |
2 |
6 |
因此
a+1 |
b+1 |
2 |
6 |
方法二:求最大值.
∵a,b>0,a+b=1,∴(
a+1 |
b+1 |
a+1 |
b+1 |
6 |
1 |
2 |
即
a+1 |
b+1 |
6 |
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、基本不等式求函数的最值是解题的关键.
练习册系列答案
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已知a>b>0,全集U=R,M={x|b<x<
},N={x|
<x<a},P={x|b<x≤
},则( )
ab |
|
|
A、P=M∩(CUN) |
B、P=(CUM)∩N |
C、P=M∩N |
D、P=M∪N |