题目内容

已知a,b>0,a+b=1,则
a+1
+
b+1
的取值范围是
 
分析:利用导数或基本不等式的性质即可得出.
解答:解:方法一:∵a,b>0,a+b=1,∴b=1-a,0<a<1,∴
a+1
+
b+1
=
a+1
+
2-a

令f(a)=
a+1
+
2-a
,a∈(0,1).
则f(a)=
1
2
a+1
-
1
2
2-a
=
2-a
-
a+1
2
a+1
2-a
=
1-2a
2
a+1
2-a
(
a+1
+
2-a
)

令f(a)=0,则a=
1
2

0<a<
1
2
时,f(a)>0,函数f(a)单调递增;当
1
2
<a<1
时,f(a)<0,函数f(a)单调递减.
∴当a=
1
2
时,函数f(a)取得最大值f(
1
2
)=
1
2
+1
+
2-
1
2
=
6

又f(0)=1+
2
=f(1),∴当a∈(0,1)时,1+
2
<f(a)≤
6

因此
a+1
+
b+1
的取值范围是(1+
2
6
]

方法二:求最大值.
∵a,b>0,a+b=1,∴(
a+1
+
b+1
)2
≤2(a+1+b+1)=6,∴
a+1
+
b+1
6
,当且仅当a=b=
1
2
时取等号.
a+1
+
b+1
的最大值为
6
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、基本不等式求函数的最值是解题的关键.
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