题目内容

11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(3)=0,且周期T=4,则方程f(x)=0在x∈[0,10]的根有
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11个
分析:由已知函数为奇函数,结合函数的周期为4可得f(0)=0?f(4)=f(8)=0,由f(3)=0?(7)=0,又f(-3)=0?f(1)=f(5)=f(9)=0,结合奇函数及周期又可得f(-2)=-f(2),f(-2)=f(-2+4)=f(2)可得f(2)=0?f(6)=f(10)=0,从而可得.
解答:解:由已知可知f(3)=0,
因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-3)=-f(3)=0,f(0)=0
又因为函数的周期为4,即f(x+4)=f(x)
所以f(0)=f(4)=f(8)=0,f(3)=f(7)=0,f(-3)=f(1)=f(5)=f(9)=0,
因为f(-2)=f(2)=-f(2),所以f(2)=0,
则f(2)=f(6)=f(10)=0
所以方程f(x)=0在x∈[0,10]的根有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
故答案为:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11个
点评:本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用,解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质,还要具备一定的综合论证的解题能力.
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