题目内容
已知数列
的首项
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）记
，若
，求最大正整数
的值；
（3）是否存在互不相等的正整数
，使成等差数列，且
成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.
（1）证明过程见解析;（2）最大正整数
的值为100;（3）满足题意的正整数不存在.
解析试题分析：（1）由已知条件构造出
，据等比数列的定义知数列为等比数列；（2）由等比数列的通项公式求出
的通项公式.易得出
，再解出即可;（3）假设存在，可得
，
由通项公式代入化简可得
，因为
，当且仅当
时等号成立，又互不相等，则不存在.
试题解析：解：（1）因为
，所以
又因为
，所以
，所以数列为等比数列. 4分
（2）由（1）可得
，所以
，
，
若，则
，所求最大正整数的值为100. 9分
（3）假设存在满足题意的正整数，
则，，
因为
，所以
，
化简得，，因为，
当且仅当时等号成立，又互不相等，
所以满足题意的正整数不存在. 14分
考点：等比数列的定义，等比数列的前n项和，基本不等式，转化与化归的数学思想.
练习册系列答案
相关题目
和
均为给定的大于1的自然数．设集合
，集合
．
，
时，用列举法表示集合
；
，
，
，其中
证明：若
，则
．
成等比数列， 公比为
，求证：
.
（n∈N*），求设数列{bn}的前n项和Tn.
的前
项和为
，且
，其中
是不为零的常数．
时，数列
满足
，
，求数列
的前n项的和为
，且
，
是等比数列
与前n项的和
若集合M=
恰有4个元素，求实数
的取值范围.
的各项均满足
，
，
的通项公式是
，前
项和为
，
.
an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．