题目内容

已知x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根．
（1）当实数m为何值时，x₁²+x₂²取得最小值？
（2）若x₁、x₂都大于 $数学公式$ ，求m的取值范围．

解：（1）∵x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根
∵△=16m²-16（m+2）=16（m²-m-2）≥0，
∴m≤-1或m≥2，…（3分）
∵x₁+x₂=m，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2• $\text{[math]}$ =（m- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴当m=-1时，x₁²+x₂²有最小值．…（7分）
（2）∵x₁、x₂都大于 $\text{[math]}$
∴（x₁- $\text{[math]}$ ）（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0且（x₁- $\text{[math]}$ ）+（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0，
即x₁x₂- $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+ $\text{[math]}$ ＞0且x₁+x₂-1＞0，…（10分）
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ＞0且m-1＞0，
∴m＜3，且m＞1，…（12分）
又∵△≥0，
∴2≤m＜3．…（14分）
分析：（1）利用韦达定理，得出根与系数的关系，利用 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₁+x₂）²-2x₁x₂可构建函数，从而可求实数m的值；
（2）将x₁、x₂都大于 $\text{[math]}$ ，转化为（x₁- $\text{[math]}$ ）（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0且（x₁- $\text{[math]}$ ）+（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0，再利用韦达定理，即可求得m的取值范围．
点评：本题以方程为载体，考查韦达定理的运用，考查学生等价转化问题的能力，解题的关键是将x₁、x₂都大于 $\text{[math]}$ ，转化为（x₁- $\text{[math]}$ ）（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0且（x₁- $\text{[math]}$ ）+（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0．