Question

给出集合A={-2，-1，-

1

2

，-

1

3

，

1

2

，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=x^a为奇函数；指数函数g（x）=a^x在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

Answer 1

分析：（1）由指数函数g（x）=a^x在区间（0，+∞）上为增函数，知a＞1，由幂函数f（x）=x^a为奇函数，知a=3．
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．用定义法进行证明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]，由x₁＜x₂，知x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

＞0，f（x₁）＞f（x₂）．由此知f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，g[f（x）]=3x3，所以原方程等价于3^3x=3x3，由此能求出结果．

解答：解：（1）a=3．…1分
∵指数函数g（x）=a^x在区间（0，+∞）上为增函数，
∴a＞1，
∴a只可能为2或3．
而当a=2时，幂函数f（x）=x²为偶函数，
只有当a=3时，幂函数f（x）=x³为奇函数．
（只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．…1分
证明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁³-x₂³
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x³在（0，+∞）上为增函数．…3分
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，
g[f（x）]=3x3，
∴3^3x=3x3，…2分
根据指数函数的性质，
得3x=x³，
∴x₁=0，x₂=

3

，x₃=-

3

． …1分．

点评：本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．